Задача 4
Задача
|
По тонкому жесткому кольцу радиуса может свободно (без трения) перемещаться бусинка массы m и заряда q2. Заряд q1 жестко закреплен в нижней точке кольца. Пренебрегая размерами бусинки и заряда q1 найти период малых колебаний бусинки около положения равновесия.
|
Решение
|
Возможны три области изменения исходных параметров задачи:
|
|
при , при и при . По условию задачи третья область исключена из рассмотрения. Далее: из рисунка видно, что в точке равновесия проекции сил кулоновского отталкивания и веса на касательную к кольцу, проведенную через эту точку, равны. Т.е.:
![](t4image/8.gif)
.
|
(1)
|
Где введено обозначение:
(в СГС).
Обозначим угол, при котором выполняется условие равновесия (1) через
.
1. Сместим q1 на
вправо по кольцу (по симметрии влево на -
) тогда можно записать уравнение движения:
|
(2)
|
Считая малым параметром, используя очевидные соотношения:
![](t4image/15.gif)
|
(3)
|
соотношение (1) и, учитывая зависимость
от углов
и
, получим уравнение движения:
|
(4)
|
Откуда : ![](t4image/19.gif)
|
|
2. В случае
колебания будут происходить в верхней точке кольца, а уравнение колебаний имеет вид:
отсюда
.