Задача 4
Задача
|
По тонкому жесткому кольцу радиуса  может свободно (без трения) перемещаться бусинка массы m и заряда q2. Заряд q1 жестко закреплен в нижней точке кольца. Пренебрегая размерами бусинки и заряда q1 найти период малых колебаний бусинки около положения равновесия.
|
Решение
|
|
Возможны три области изменения исходных параметров задачи:
|
|
при  , при  и при  . По условию задачи третья область исключена из рассмотрения. Далее: из рисунка видно, что в точке равновесия проекции сил кулоновского отталкивания  и веса  на касательную к кольцу, проведенную через эту точку, равны. Т.е.:
 
 .
|
(1)
|
Где введено обозначение:
(в СГС).
Обозначим угол, при котором выполняется условие равновесия (1) через 
.
1. Сместим q1 на 
вправо по кольцу (по симметрии влево на -) тогда можно записать уравнение движения:
|
(2)
|
Считая малым параметром, используя очевидные соотношения:
|
(3)
|
соотношение (1) и, учитывая зависимость 
от углов и , получим уравнение движения:
|
(4)
|
Откуда : 
|
|
2. В случае 
колебания будут происходить в верхней точке кольца, а уравнение колебаний имеет вид:
отсюда
.