Кафедра теоретической физики

Программа по курсу

Теоретическая механика

I. Механика Ньютона

1. Введение. Механическое движение. Место классической механики в физике и в истории физики.Границы применимости.
2. Основные понятия и предположения классической механики. Законы Ньютона. Свойства пространства и времени. Материальная точка, взаимодействие тел и дальнодействие. Инерциальные системы отсчета и принцип относительности Галилея. Механика материальной точки. Радиус вектор, скорость и ускорение. Сила и масса, принцип суперпозиции сил. I-й, 2-й и 3-й законы Ньютона. Принцип механической причинности (детерминизм); решение уравѕнений движения и начальные условия. Сохраниение импульса, момента импульса и энергии. Потенциал.
3. Механика системы материальных точек. Уравнение движения (2-й закон Ньютона). Детерминизм. Сохранение импульса. Центр масс. Сохранение момента импульса, сохранение энергии. Теорема о моменте импульса L системы материальных точек и моменте импульса L относительно центра масс. Теорема о кинетической энергии T системы материальных точек и кинетической энергии Т относительно центра масс. Инвариантность уравнений движения относительно сдвига, вращения и преобразований Галилея.

II. Механика Лагранжа

1. Связи, голономные и неголономные и уравнения движения. Классификация связей. Реакции связей. Обобщенные координаты и число степеней свободы. Преобразование перехода от декартовых к обобщенным координатам. Примеры. Две трудности механики Ньютона и их разрешение.
2. Действительное, возможное и виртуальное перемещения. Принцип виртуальных перемещений. Идеальные голономные связи. Равенство нулю обобщенных сил - условие равновесия. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Уравнение Лагранжа 1-го рода.
3. Принцип Даламбера и сила Даламбера. Работа сил реакции связей. Принцип Даламбера в обобщенных координатах. Условие идеальности связей. Вывод ур-ний Лагранжа 2-го рода из принципа Даламбера. Обобщенная сила. Функция Лагранжа и обобщенный импульс. Структура кинетической энергии в обобщенных координатах. Идеальные голономные связи и структура потенциальной энергии. Обобщенно диссипативные силы (сила Лоренца). Диссипативная функция Релея. Полная энергия и обобщенная энергия.
4. Примеры получения ур-ний Лагранжа. Преимущества ур-ний Лагранжа. Кинетическая энергия - квадратичная форма по обобщенным скоростям. Примеры получения ур-ний: Материальная точка в декартовой и полярной системе координат.
5. Свойства симметрии механических систем и законы сохранения.
   Первые интегралы уравнений движения, сохранение обобщенного импульса. Циклические координаты и симметрия силовых полей, случай центрально симметричного поля. Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии системы материальных точек, как следствие симметрии лагранжиана и свойств пространства (однородность и изотропия) и времени (однородность).

III. Задача двух тел

1. Сведение задачи 2-х тел к эквивалентной задаче для одного тела. Приведенная масса. Лагранжиан задачи двух тел в системе центра масс и цикличность радиуса вектора центра масс R. Отделение ур-ний для радиуса вектора R. Лагранжиан в поле центральной силы в полярной системе координат.
2. Второй Закон Кеплера. Метод эффективного потенциала. Уравнение движения по полярному углу ф и сохрание секториальной скорости. Эффективный потенциал гравитационной силы, уравнение
   E = Uэфф. Исследование траекторий (орбит) движения. Замкнутость траекторий движения при финитном движении. Падение на центр.
   
3. Общее решение задачи двух тел. Формальное интегрирование уравнений движения. Уравнение орбиты в полярной системе координат в виде квадратуры. Уравнение орбиты - коническое сечение. 1-ый и 3-ий законы Кеплера.
4. Теорема вириала, общая формулировка. Случай силы f(r) = кr и f(r) = -a/r.

IV. Малые колебания

1. Свободные малые колебания систем с одной степенью свободы. Устойчивое и неустойчивое равновесие, лагранжиан гармонического осциллятора, закон движения. Вынужденные колебания и резонанс. Средняя энергия системы совершающей вынужденные малые колебания.
2. Малые колебания систем со многими степенями свободы вблизи положения устойчивого равновесия. Лагранжиан, приведение кинетической T и потенциальной U энергий к диагональному виду. Уравнения движения, полученные из недиагонализованного
   Лагранжиана. Характеристическое ур-ние, общее решение задачи о колебаниях и нормальные координаты (колебания). Случай кратных корней и нулевой частоты. Колебания в присутствии диссипативных
   сил. Примеры: а) плоский маятник на пружине, б) двойной маятник,
   в) закон Дюлонга-Пти.
   

V. Механика Гамильтона

1. Действие. Вывод уравнения Лагранжа из вариационного принципа Гамильтона (принципа наименьшего действия). Экстремум функционала действия. Уравнения Лагранжа-Эйлера. Ковариантность и неопределенность в задании лагранжиана.
2. Канонические уравнения Гамильтона. Функция гамильтона.
   Вывод уравнений Гамильтона с помощью преобразований Лежандра.
   Законы сохранения в механике Гамильтона.
3. Канонические преобразования. Типы производящих функций и вид индуцированных им канонических преобразований, примеры канонических преобразований. Канонически сопряженные переменные. Конфигурационное и фазовое пространство. Действие как производящая функция канонического преобразования. Теорема Лиувилля.
4. Уравнения Гамильтона - Якоби. Действие как функция координат и времени.
5. Скобки Пуассона. Определение. Фундаментальные скобки Пуассона. Скобки Пуассона для компонент момента количества движения и радиуса вектора. Уравнения Гамильтона в виде скобок Пуассона. Интегралы движения и скобки Пуассона. Теорема Пуассона и получение новых интегралов движения. Тождество Якоби.

Литература:

1. Голдстейн Г., Классическая механика, М:1975
2. Ольховский И.И., Курс теоретической механики для физиков
3. Ландау Л.Д. Механика, М: 1973
4. Ольховский И.И., Павленко Ю.Г., Кузьменко Л.С., Задачи по теоретической механике для физиков, М: 1977
5. Коткин Г.Л., Сербо В.Г., Сборник задач по классической механике
6. Коткин Г.Л., Сербо В.Г.,Черных А.И. Лекции по аналитической механике