Кафедра теоретической физики

Программа по курсу

Теория функций комплексного переменного

1. Функции комплексного переменного.

   1. Комплексные числа и действия с ними. Модуль, аргумент,геометрическая интерпретация. Извлечение корня n-ой степени.
   2. Последовательности комплексных чисел, сходимость. Комплексная переменная (к.п.), комплексная плоскость. Область, связность, граница, ориентация.
   3. Предел, непрерывность, дифференцирование функций к.п.;условия Коши-Римана. Восстановление полной регулярной функции. Гармоническая функция.
   4. Интегрирование функций к.п. Теорема Коши. Интегральные формулы Коши. Теорема о среднем, принцип максимума модуля. Теорема Лиувилля.
   5. Интегралы, зависящие от параметра, их аналитичность.Гамма- и бета-функции.
   
    

2. Ряды.

   1. Ряды регулярных функций. Степенные ряды, теорема Абеля, радиус сходимости. Действия со степенными рядами.
   2. Аналитическое продолжение, его принципы. Продолжение элементарных функций с действительной оси, продолжение с помощью степенных рядов. Теорема единственности. Естественная граница аналитичности.
   3. Многозначные функции. Точки ветвления. Риманова поверхность. Выделение регулярных ветвей ln(z) и z .
   4. Разложение регулярной в кольце ф.к.п. в ряд Лорана. Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана.
   
    

3. Теория вычетов.

   1. Изолированные особые точки, их классификация. Ряд Лорана в окрестности особых точек. Теорема Сохоцкого.
   2. Вычеты в особых точках. Основная теорема теории вычетов. Вычисление вычетов.
   3. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Вычисление интегралов от многозначных функций.
   4. Логарифмический вычет, принцип аргумента. Теорема Руше.
   5. Разложение рациональной и мероморфной функции в сумму или ряд простых дробей.
   
    

4. Конформные отображения.

   1. Признак однолистности функции в точке. Геометрический смысл производной ф.к.п. Конформные отображения, принцип соответствия границ.
   2. Дробно-линейная функция. Принцип симметрии. Примеры конформных отображений. Физические примеры.
   3. Решение краевых задач. Инвариантность оператора Лапласа при конформном отображении. Задачи Дирихле для круга, полуплоскости, сектора.
   
    

5. Элементарные асимптотические методы.

   1. Асимптотические оценки. Метод Лапласа. Метод стационарной фазы. Метод Перевала.
   
    

6. Преобразование Лапласа.

   1. Оригинал, -функция. Свойства преобразования Лапласа. Аналитические свойства преобразований Фурье и Лапласа. Преобразование Меллина.
   2. Свертка. Применение интегральных преобразований к решению дифференциальных и интегральных уравнений.

Литература:

1. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного. М. Наука.
2. Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк, М.И.Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного. М. Наука. 1982.
3. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. Теория функций комплексного переменного. М. Наука. 1979.
4. Сборник задач по теории аналитических функций. под ред.М.А.Евграфова.
5. М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения). М. Наука. 1981.
6. М.А.Евграфов. Аналитические функции. М. Наука. 1991.