Кафедра теоретической физики

Программа по курсу

Специальные методы математической физики

Введение.

Глава 1. Аналитическая теория дифференциальных уравнений.

1. Некоторые общие свойства линейных уравнений и систем.
2. Поведение решений в окрестности особой точки.
3. Регулярная и иррегулярная особенности.
4. Уравнения класса Фукса.
5. Гипергеометрическое уравнение.
6. Некоторые свойства гипергеометрического ряда.
7. Соотношения гипергеометрической функции с некоторыми
   специальными функциями.
   
8. Ортогональные многочлены.
9. Слияние особенностей. Вырожденная гипергеометрическая функция.
10. Представление решения рядом в окрестности иррегулярной особенности.
11. Асимптотические разложения.
12. Две регулярные и иррегулярная особенности.
13. Цепные дроби. Моделирование особенностей функций.

Глава 2. Степенные ряды.

1. Поведение степенного ряда на границе круга сходимости.
2. Оценка поведения гипергеометрического ряда в окрестности особой точки.
3. Аналитическое продожение гипергеометрического ряда.
4. Асимптотическое поведение вырожденной гипергеометрической функции.
5. Преобразование Бореля.

Глава 3. Интегральные преобразования.

1. Решение дифференциальнх уравнений с помощью интегральных преобразований. Примеры.
2. Интегральное представление гипергеометрической функции.
3. Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда с помощью интегрального представления.
4. Преобразование Лапласа. Интегральное представление вырожденной гипергеометрической функции.
5. Юкавские потенциалы. Уравнения с юкавскими коэффициентами.
6. Параметрические преобразования в уравнениях с Юкавскими коэффициентами.
7. Интегральные уравнения по параметру.
8. Пример решения гипергеометрического уравнения.

Глава 4. Качественная теория дифференциальных уравнений.

1. Основные понятия качественной теории.
2. Примеры поведения систем в окрестности точки покоя.
3. Теория Пуанкаре-Бертрана.
4. Адиабатический инвариант.

Глава 5. Групповые свойства дифференциальных уравнений.

1. Оператор симметрии уравнения.
2. Пример симметрии обыкновенного дифференциального уравнения.
3. Группа симметрии уравнения Гельмгольца.
4. Группа симметрии уравнения Клейна-Гордона.
5. Задача разделения переменных в уравнении Гельмгольца.

Литература:

1. В.И.Смирнов. Курс высшей математики. т.3, ч.2.М.,ГИТТЛ,1957.
2. Ф.М.Морс, Г.Фешбах. Методы теоретической физики.М.ИЛ.1958.
3. Д.Эрроусмит, К.Плейс. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Качественная теория с приложениями).М.Мир.1986.
4. Н.Н.Моисеев. Асимптотические методы нелинейной механики.М.Наука.1981.
5. В.И.Фущич, А.Г.Никитин. Симметрия уравнений квантовой механики. М.Наука.1990.
6. У.Миллер. Симметрия и разделение переменных.М.Мир.1981.