Кафедра теоретической физики

Программа по курсу

Аналитическая геометрия

1. Основные понятия геометрии - точка, линия, поверхность и их комбинации. Декартовы координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
    
2. Вектор как направленный отрезок, свободный вектор. Параллельный перенос вектора. Параллельный перенос как отображение. Линейные операции над векторами - сложение векторов и умножение вектора на число и их свойства. Линейная зависимость векторов, геометрический смысл линейной зависимости. Коллинеарные и компланарные векторы. Понятие базиса и координат вектора на плоскости и в пространстве.
    
3. Проекция вектора. Длина вектора. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов и их свойства. Ортогональность векторов. Неравенство Коши - Буняковского. Векторное и двойное векторное произведения и их свойства. Смешанное произведение. Преобразования (движения) декартовых координат вектора на плоскости и в пространстве. Матрица поворота. Углы Эйлера.
    
4. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в векторной форме. Каноническое и параметрическое уравнения прямой. Нормальное уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Вектор нормали к прямой и уравнение прямой записанное через скалярное произведение. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой. Уравнение пучка прямых. Уравнение биссектрисы угла. Условие пересечения трех прямых в одной точке.
    
5. Общее уравнение плоскости в пространстве. Векторное, параметрическое и нормальное уравнения плоскости. Вектор нормали к плоскости, угол между плоскостями, расcтояние точки до плоскости. Пучок плоскостей.
    
6. Прямая в пространстве. Векторное, каноническое и параметрическое уравнения прямой. Система двух уравнений с тремя неизвестными. Направляющий вектор прямой.
    
7. Общее уравнение линии на плоскости. Алгебраические линии 1-го и 2-го порядка. Способы задания линии. Уравнения линии в полярных координатах, примеры.
    
8. Алгебраические линии 2-го порядка и их классификация. Канонические уравнения эллипса гиперболы и параболы. Определение линий 2-го порядка через фокус, директрису и эксцентриситет. Основные свойства. Второе определение линий 2-го порядка. Преобразование уравнения линии 2-го порядка при повороте системы координат, при параллельном переносе и инварианты. Центр линии 2-го порядка. Определение типа линии по инвариантам. Приведение уравнения линии к каноническому виду. Асимптоты гиперболы. Уравнения касательных. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах и фокальный параметр.
    
9. Общее уравнение поверхности 2-го порядка и их классификация. Конус и цилиндры и их направляющие. Центр поверхности. Плоские сечения эллипсоида и гиперболоида. Конические сечения.

Литература:

1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк "Аналитическая геометрия" 1988
2. В.В. Федорчук "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" 1990
3. П.С.Александров "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" 1979
4. А.И.Кострикин, Ю.М. Манин "Линейная алгебра и геометрия" 1980
5. О.Н.Цубербиллер "Задачи и упражнения по аналитической геометрии" 1968
6. Л.А.Беклемишева и др. "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре"
7. С.В.Бахвалов и др. "Сборник задач по аналитической геометрии"