Физический факультет ИГУ
Кафедра теоретической физики

Программа по курсу

Дифференциальные уравнения

  1. Введение

    1. Понятие дифференциального уравнения (ДУ). Классификация ДУ.
    2. Физические задачи, приводящие к ДУ.
    3. Постановка задачи Коши.
    4. Геометрическая интерпретация уравнения y'=f(x,y). Метод изоклин.
    5. Задачи теории дифференциальных уравнений.

     

  2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

    1. Уравнения с разделяющимися переменными.
    2. Однородные уравнения.
    3. Линейные уравнения и приводящиеся к ним.
    4. Уравнения Бернулли и Рикатти.
    5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрируемые комбинации. Интегрирующий множитель.
    6. Уравнения, не разрешенные относительно производной, уравнения Лагранжа, Клеро. Р-дискриминантная и С-дискриминантная кривые.
    7. Теорема существования и единственности уравнения y'=f(x,y).
      1. Численные методы решения ДУ.
      2. Линейное пространство. Метрика. Задача Коши в операторной форме.
      3. Принцип сжатых отображений.
      4. Доказательство теоремы существования и единственности.
      5. Гладкость решений. Зависимость решений от параметров и начальных условий.

     

  3. Уравнения n-го порядка.

    1. Теорема существования и единственности.
    2. Линейные ДУ n-го порядка,принцип суперпозиции.
    3. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами и уравнение Эйлера.
    4. Линейные неоднородные уравнения.
    5. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
    6. Приближенные методы интегрирования ДУ.
    7. Интегрирование ДУ с помощью рядов. Некоторые уравнения 2 порядка

     

  4. Системы дифференциальных уравнений.

    1. Взаимосвязь ДУ n-го порядка и систем ДУ.
    2. Линейные системы. Классификация.
    3. Матричная запись системы ДУ. Функции от матриц.
    4. Теорема существования и единственности для линейных систем. Доказательство.
    5. Линейная зависимость и независимость функций и вектор-функций. Определитель Вронского. Принцип суперпозиции.
    6. Фундаментальные системы решений.
    7. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами. Матричная экспонента и ее свойства.
    8. Вычисление матричной экспоненты. Действительные и различные корни характеристического уравнения.
    9. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Кратные корни характеристического уравнения. Теорема о приведении матрицы к нормальной жордановой форме.
    10. Неоднородные системы. Метод вариации постоянных. Метод неопределенных коэффициентов. Принцип суперпозиции.
    11. Комплексные линейные системы. Сведение к действительным.

     

  5. Введение в теорию устойчивости.

    1. Основные понятия.
    2. Простейшие типы точек покоя.
    3. Теоремы Ляпунова об устойчивости.
    4. Исследование на устойчивость по первому приближению.

     

  6. Интегральные уравнения.

    1. Теоремы Фредгольма на примере интегральных уравнений с вырожденным ядром.
    2. Принцип сжатых отображений в применении к интегральным уравнениям Фредгольма 2 рода.
    3. Повторные ядра и резольвента для уравнения Фредгольма 2 рода.
    4. Теоремы Фредгольма.
    5. Симметричные ядра, билинейное разложение, теорема Гильберта-Шмидта.

     

  7. Краевые задачи.

    1. Основные понятия. Задача Штурма-Лиувилля.
    2. Функция Грина для задачи Штурма-Лиувилля. Общие свойства и пример построения.

    8. Литература:

    1. Л.Э.Эльсгольц "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление", М.,Наука,1969
    2. М.В.Федорюк "Обыкновенные дифференциальные уравнения",М.,Наука,1980
    3. А.Н.Тихонов,А.Б.Васильева,А.Г.Свешников "Дифференциальные уравнения", М.,Наука,1979
    4. Н.М.Матвеев "Методы интегрирования обыкновенных интегральных уравнений", М.,Высшая школа,1967
    5. Э.Камке "Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям", М.,Наука,1976
    6. И.Г.Петровский "Лекции по теории интегральных уравнений",М.,Наука,1965
    7. Л.М.Краснов "Интегральные уравнения",М.,Наука,1975
    8. П.И.Лизоркин "Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа", М.,Наука,1981
    9. А.Ф.Филиппов "Сборник задач по дифф. уравнениям",М.,Наука,1992
    10. М.Л.Краснов,А.И.Киселев,Г.И.Макаренко "Сборник задач по обыкновенным дифферециальным уравнениям",М.,Высшая школа,1978
    11. М.Л.Краснов,А.И.Киселев,Г.И.Макаренко “Интегральные уравнения”,М., Наука, 1968
    Другие программы
    http://www.physdep.isu.ru/progr/teor_phys/dif_eq.htm
    Дата последнего изменения: 7.08.2002.