Кафедра теоретической физики

Программа по курсу

Высшая алгебра

I. Матрицы и определители

1. Введение. Линейность в физике и математике. Матрицы, операции над матрицами, свойства операций. Транспонирование. Линейное преобразование. Блочные матрицы, прямая сумма матриц, алгебраические свойства прямой суммы. Коммутатор и антикоммутатор. След матрицы. Группа подстановок и симметрическая группа.
2. Определитель матрицы (два определения). Минор и алгебраическое дополнение. Два типа миноров. Теорема № 1 Лапласа. Основные свойства определителей. Определитель произведения матриц det(AB) = det(A) det(B), теорема № 2. Формула Бине - Коши. Обратная матрица, теорема № 3. Матричное уравнение.
3. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы, теорема № 4. Ранг и базисный минор матрицы. Методы вычисления ранга: метод элементарных преобразований и метод окаймляющих миноров. Теорема № 5 о базисном миноре. Ранг произведения матриц: Rang (AB) = ? Теорема № 6 о det (A) = 0.

   II. Линейное пространство

4. Линейное пространство, вещественное и комплексное. Основные примеры линейных пространств. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов, теорема № 7. Размерность пространства. Базис и координаты. Примеры базисов. Единственность разложения вектора по базису, теорема № 8.
5. Подпространство и линейная оболочка системы векторов, размерность линейной оболочки. Прямая сумма линейных пространств, теорема № 9. Объединение и пересечение линейных пространств, теорема № 10 о размерности объединения пространств. Изоморфизм линейных пространств, теорема № 11. Преобразование координат вектора при преобразовании базиса.

   III. Системы линейных уравнений

6. Системы линейных уравнений (СЛУ). Способы записи и их классификация. Совместность СЛУ, теорема № 12 Кронекера- Капелли. Крамеровские системы линейных неоднородных уравнений. Формула Крамера. Метод К.Гаусса решения системы линейных уравнений. Решение однородной СЛУ, тривиальное и нетривиальное решения, теорема № 13. Фундаментальная система решений однородной СЛУ. Общее решение, пространство решений. Свойства решений неоднородной и соответствующей однородной системы уравнений.

   IV. Евклидова пространство.

7. Система аксиом скалярного произведения. Комплексное и вещественное евклидовы пространства. Общий вид задания скалярного произведения конечномерного линейного пространство. Основные примеры задания скалярных произведений в различных линейных пространствах. Неравенство Коши - Буняковского. Примеры неравенств Коши - Буняковского. Определения угла между двумя векторами и нормы (длины) вектора. Нормированное пространство.
8. Ортогональность векторов и ортогональный базис, теорема № 14. Свойства ортогонального базиса. Метод ортогонализации Грама - Шмидта, теорема № 15. Матрица Грама. Геометрический смысл определителя матрицы Грама

   V. Линейные операторы

9. Линейный оператор. Операции над линейными операторами и их свойства. Простраство линейных операторов. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве. Ядро и образ линейного оператора, примеры. Теорема № 16 о сумме размерностей ядра и образа. Ранг линейного оператора. Обратный оператор и условия существования обратного оператора.
10. Структура линейного прератора. Инвариантное пространство. Вид матрицы линейного оператора в случае существования инвариантных пространств. Одномерные инвариантные подпространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, теорема № 17. Характеристическое уравнение и характеристический полином.
11. Спектр линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора, теорема № 18. Подобные матрицы и их свойства. Теорема № 19 о свойствах собственных векторов линейного оператора. Диагонализация матрицы линейного оператора, теорема № 20. Понятие жордановой формы матрицы.
12. Сопряженный оператор, теорема № 21. Эрмитов оператор и свойства операции эрмитова сопряжения. Свойство собственных векторов и собственных значений эрмитова оператора, теорема № 22. Унитарный (ортогональный) оператор и его основные свойства. Общий вид ортогонального оператора на плоскости.

    VI. Билинейные и квадратичные формы. Функции от матриц

13. Билинейная и квадратичная формы. Полуторалинейная форма. Классификация квадратичных форм, критерий Сильвестра. Нормальный и канонический виды квадратичной формы. Преобразование квадратичной формы при преобразовании базиса, теорема № 23. Ранг квадратичной формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Метод ортогонального преобразования квадратичной формы к каноническому виду, теорема № 24. Закон инерции. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов, теорема № 25.
14. Спектральное разложение эрмитова оператора. Свойства проэкторов. Теорема № 26 Гамильтона - Кэли.
15. Функции от матриц. Полиномиальная матрица и минимальный полином.. Интерполирующий полином Лагранжа - Сильвестра.

Типы матриц

1. Прямоугольная, квадратная, треугольная, диагональная, единичная
2. Вырожденная, невырожденная
3. Симметричная, антисимметричная (кососимметричная)
4. Эрмитовая, антиэрмитовая, унитарная и ортогональная.
5. Подобные матрицы

Литература:

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. “Линейная алгебра”
2. Федорчук В.В. “Курс аналитической геометрии и линей ной алгебры”
3. Гельфанд И.М. “Лекции по линейной алгебре”
4. Александров П.С. “Курс аналитической геометрии и высшей алгебры”
5. Курош А.Г. “Курс высшей алгебры”
6. Шилов Г.Е. “Конечномерные линейные пространства”
7. Кострикин А.И., Манин Ю.М. “Линейная алгебра”
8. Гантмахер Ф.Э. “Теория матриц”
9. Карнаков В.А. “Избранные вопросы линейной алгебры”