Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Иркутский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ИГУ»)

«Утверждаю»

_____________________

Проректор по учебной работе,

проф. В. В. Рябчиков

«____»_____________20__г.

Физический факультет

Кафедра теоретической физики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Функциональные методы квантовой теории калибровочных полей.

Цели и задачи дисциплины

Целью дисциплины «Функциональные методы квантовой теории калибровочных полей» является: изучение и овладение современными функциональными методами квантовой теории поля и квантовой теории калибровочных полей; усвоение основных физических представлений и математических идей, лежащих в основе этих методов; приобретение навыков их применения к описанию конкретных физических процессов и к вычислению экспериментально наблюдаемых характеристик адронных систем. Знания, полученные аспирантом при изучении данной дисциплины знакомят с современным состоянием в этой области и формируют у него физико-математическую культуру, необходимую для самостоятельной научно-исследовательской работы.

Данный курс призван решать следующие задачи:

- изучение современных методов построения вантовой теории калибровочных полей;

- знакомство с основными физическими явлениями, описываемыми ею в рамках КХД;

- формирование умений и навыков самостоятельного расчета адронных процессов.

Место дисциплины в процессе подготовки аспиранта

При изучении курса «Функциональные методы квантовой теории калибровочных полей» используются знания, приобретенные при изучении всех основных, как математических, так и физических курсов, а также спецкурсов по квантовой теории рассеяния и излучения, квантовой теории поля, релятивистской квантовой теории и квантовой электродинамике. Спецкурс «Функциональные методы квантовой теории калибровочных полей» является базовым для изучения спецкурсов по Стандартной Модели, по физике элементарных частиц и астрофизике.

Требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения дисциплины аспирант должен:

знать: современные методы построения вантовой теории калибровочных полей;

уметь: использовать их для объяснения основных физических явлений в рамках КХД;

владеть: навыками и приемами самостоятельного вычисления адронных процессов.

2. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

№	Темы, разделы	Всего часов	Виды подготовки		Самост. работа
№	Темы, разделы	Всего часов	Лекции	Практические занятия	СРС	КСР
1.	Классические системы со связями и классические поля Янга-Миллса	27	6	6	15	0
2.	Квантование и S-матрица в голоморфном представлении и в гамильтоновой формулировке для полей Янга-Миллса	27	6	6	15	0
3.	Ковариантные правила квантования и перенормировка в теориях Янга-Миллса	27	6	6	15	0
4.	Процессы DIS и е+,е- аннигиляции Квантовые аномалии. Инстантоны	27	6	6	15	0
ВСЕГО (часы)		108	24	24	60	0

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

3.1. Общее содержание.

1. Классическая теория систем со связями.

Лагранжева и гамильтонова теория физических систем со связями. Первичные связи. Обобщенный гамильтониан. Вторичные связи. Системы со связями первого и второго рода. Калибровочные условия. Канонические и неканонические калибровки. Электромагнитное поле как простейший пример системы со связями. Амплитуда перехода для квантовых систем со связями в рамках метода континуального интеграла.

2. Классическая теория полей Янга-Миллса с SU(N) симметрией.

Ковариантная производная. Тензор напряженности поля Янга-Миллса. Поля материи. Лагранжиан хромодинамики. Уравнения движения классических полей Янга-Миллса. Калибровочное условие. Условие однозначной разрешимости калибровочных условий. Понятие функционального определителя. Копии Грибова. Горизонты Грибова.

3. Голоморфное представление (бозоны).

Одномерный гармонический осциллятор. Представление операторной алгебры бозонного гармонического осциллятора в пространстве аналитических функций. Скалярное произведение в этом пространстве. Понятие ядра и нормального символа произвольного оператора. Ядро произведения двух операторов. Нормальный символ эволюционного оператора в голоморфном представлении. Голоморфное представление для скалярной модели теории поля. Пространство Фока в голоморфном представлении. Нормальный символ эволюционного оператора скалярного поля. Построение S-матрицы и теории возмущения в рамках континуального интеграла. Производящий функционал для точных функций Грина скалярного поля. Разложение нормального символа S-матрицы в окрестности классического решения (“разложение по петлям”).

4. Голоморфное представление (фермионы).

Представление операторной алгебры (одномерного) фермионного осциллятора в пространстве грассмановозначных функций. Интегрирование и дифференцирование по грассмановым переменным. Скалярное произведение в пространстве голоморфных грассмановозначных функций. Обобщение на систему с n степенями свободы. Понятие ядра и нормального символа оператора в пространстве голоморфных функций. Представление ядра оператора эволюции ферми-системы в форме континуального интеграла. Комплексное спинорное поле как пример системы фермионов с бесконечным числом степеней свободы. Гамильтониан фермионного поля, взаимодействующего с внешними грассмановыми источниками. Построение S-матрицы и производящего функционала для системы фермионы + скалярное поле (взаимодействие Юкавы).

5. Гамильтонова формулировка полей Янга-Миллса и их квантование.

Канонически сопряженные переменные и гамильтониан классических полей Янга-Миллса. Первичная и вторичная связи. Каноническое калибровочное условие – кулоновская калибровка. Условие совместимости кулоновской калибровки с динамической системой. Общая структура амплитуды перехода между двумя конфигурациями калибровочного поля в терминах континуального интеграла в фазовом пространстве. Переход в функциональное пространство полевых конфигураций. Грибовские неоднородности. Построение S-матрицы с помощью голоморфного представления полей Янга-Миллса. Взаимодействие с полями материи.

6. Ковариантные правила квантования и фейнмановская диаграммная техника.

Переход к релятивистски-инвариантной параметризации калибровочно-эквивалентных полей. Калибровка Лоренца. Преобразование функциональной меры в нормальном символе S-матрицы полей Янга-Миллса при переходе от кулоновской к лоренцовской калибровке. Обобщенная калибровка Лоренца. Представление функционального определителя оператора Фадеева-Попова в виде функционального интеграла по скалярным антикоммутирующим полям. Духи Фадеева-Попова. Производящий функционал для функций Грина полей Янга-Миллса. Диаграммная техника в импульсном представлении. Преобразование Бекки-Рюэ-Стора-Тютина (BRST-преобразования).

7. Перенормировка в теориях Янга-Миллса.

КЭД и КХД на однопетлевом уровне. Калибровки. Размерная регуляризация. Общие сведения о процедуре перенормировок. Перенормировка в КХД в однопетлевом приближении. Асимптотическая свобода.

8. Процессы глубоконеупругого рассеяния лептонов на нуклонах (DIS) и

е+е- аннигиляция.

Определения и кинематика. Партонная модель. Операторное разложение. Применение операторного разложения произведения электромагнитных токов к DIS и е+е- аннигиляции, и моменты структурных функций. Размерность и твист оператора. Аномальные размерности. Эволюция кварковых и глюонных распределений в адроне. Уравнение Альтарелли-Паризи. Применение теории к наблюдаемым процессам. Процесс Дрейла-Яна.

9. Аномалии

Квантовая аномалия дивергенции аксиального тока в двумерной модели Швингера и перестройка ферми-вакуума внешним полем. Аномалия в высших размерностях как проявление неинвариантности функциональной меры. Вычисление фермионного якобиана по Вергелесу-Фуджикаве. Сохраняющиеся калибровочно неинвариантные токи. Киральный предел и спонтанное нарушение киральной SU(Nf) симметрии. Пион как голдстоуновский бозон. Соотношение Гольдбергера—Треймана. Распад пи-ноль-мезона на два фотона.

10. Инстантоны.

Топологичекие решения в скалярной теории. Тунелирование в мнимом времени в двух измерениях. Двугорбый потенциал. Евклидова формулировка КХД. BPST-инстантоны. Топологические квантовые числа . Конечность энергии и условие самодуальности. Величина действия для инстантонных решений. Явный вид BPST-инстантона. Инстантонный газ и многоинстантонные решения. Инстантоны и структура КХД вакуума Тэта –вакуум ,UA(1) проблема и сохраняющийся киральный заряд.

3.2 Темы семинарских занятий

1. Квантование массивного векторного поля и условие Лоренца. Первичные и вторичные связи. S-матрица ЭМП классического тока. Представление Гейзенберга, in и out поля и состояния.

2. Излучение произвольного числа фотонов при столкновениях. Теорема Киношиты –Ли. Когерентные состояния. Голоморфное представление. Ядро и нормальный символ оператора.

3. Функциональные формулировки теоремы Вика (бозоны). S-матрица и оператор эволюции. Представление взаимодействия. Функциональные формулировки теоремы Вика (фермионы).

4. Гейзенберговы поля и вакуумные средние. Амплитуда вак-вак перехода и Производящий Функционал ФГ. Нормальный символ S-матрицы. Представление Челлена-Лемана. Пропагатор и функции Вайтмана. Теорема Хаага. Слабый смысл асимптотических условий.

5. Связные и несвязные ФГ и их ПФ. Эффективное Действие. Квантовые добавки к классическим уравнениям движения. Редукционные формулы. Классические решения. Солитоны и инстантоны. Эффективный Потенциал. Представление ПФ через Функциональный Интеграл.

6. Вычисление ЭП с помощью ФИ. Метод «теплового ядра». Потенциал Колмена-Вайнберга и динамическое нарушение симметрии. Ренорминвариантность, «бегущая» константа связи, аномальная размерность и размерная трансмутация.. Функциональные Детерминанты и разложение ЭД по петлям.

7. S-матрица и теорема Вика для фермионов во внешнем поле . Фермионный ФД. Рождение пар внешним классическим ЭМП. Теорема Фарри. Сохранение векторного тока и тождества Уорда-Такахаши.

Уранения Швингера-Дайсона. ФИ по грассмановым полям.

8. Квантование неабелевых калибровочных полей с помощью ФИ. Детерминант Фаддеева-Попова. Духи. Преобразование BRST. Унитарность S-матрицы в физическом секторе.

9. Лагранжиан и правила Фейнмана КХД. Перенормировка КХД и тождества Уорда-Такахаши-Славнова-Тейлора. Вычисление бета-функции для SU(N). Асимптотическая свобода. Параметр лямбда – КХД.

10. DIS: скейлинг в партонной модели. Моменты структурных функций и операторное разложение. Размерность и твист оператора. Ренормгруппа, вычисление аномальных размерностей. Тяжелый Кварконий, Аннигиляция е+е- в адроны. R- отношение и правила сумм.

11. Квантовая аномалия в двумерной модели Швингера и перестройка ферми-вакуума внешним полем. Аномалия в высших размерностях как проявление неинвариантности функциональной меры. Вычисление фермионного якобиана по Вергелесу-Фуджикаве. Аномалии абелевых аксиальных токов и распад пи-ноль-мезона на два фотона. Аномалии неабелевых токов. Иерархия аномалий. Киральный предел и спонтанное нарушение киральной SU(Nf) симметрии. Пион как голдстоуновский бозон. Соотношение Гольдбергера—Треймана. Распад пи-ноль-мезона на два фотона.

12. Евклидово действие полей Янга-Миллса. Самодуальные классические решения. BPST-инстантон и тэта-вакуум КХД. Сохраняющиеся топологические заряды и их сохраняющиеся калибровочно неинвариантные токи.. Тэта –вакуум, UA(1) проблема и сохраняющийся киральный заряд.

3.3. Примерный список вопросов к экзамену

1. Функциональные формулировки теоремы Вика для бозонов и фермионов.

2. Представление Гейзенберга, представления взаимодействия, in, и out.

3. Локальная калибровочная симметрия в неабелевой теории поля с группой SU(N).

4. Перенормированный лагранжиан КХД и тождества У-Т-С-Т.

5. Представление Челлена-Лемана. Функции Вайтмана. Теорема Хаага..

6. Представление ПФ через Функциональный Интеграл в скалярной теории.

7. Эффективное Действие и Эффективный Потенциал.

8. Детерминант и Духи Фаддеева-Попова..

9. Лагранжиан и правила Фейнмана КХД.

10. Уранения Швингера-Дайсона и ФИ.

11. Ренорминвариантность, «бегущая» константа связи, и размерная трансмутация.

12. Сохранение векторного тока и тождества УТ.

13. Фермионный ФД во внешнем ЭМП и теорема Фарри.

14. Кинематика и скейлинг в DIS .

15. Размерность, твист и аномальная размерность оператора.

16. Калибровочное преобразование полей калибровочных бозонов и их напряженностей.

17. Евклидово действие полей Янга-Миллса.

18. Бета-функция и инвариантный заряд в КХД.

19. Асимптотическая свобода и партонная модель.

20. Аксиальная аномалия как неинвариантность фермионной меры.

21. Топологический заряд и его ток.

22. Амплитуда распада пи-ноль-мезона на два фотона.

4. ФОРМЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Форма итогового контроля – зачет.

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРA

1. К. Ициксон, Ж-Б. Зюбер, Квантовая теория поля, т.1, т.2. М.: Мир, 1984.

2. М. Е. Пескин, Д.В. Шредер. Введение в квантовую теорию поля. Ижевск, РХД, 2001.

3. С. Вергелес. Лекции по квантовой электродинамике. М: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

4. V.G. Kiselev, Ya.M. Shnir, A.Ya. Tregubovich, Introduction to Quantum Field Theory. G&B Science Pub. 2000.

5. М.Б. Волошин, К.А. Тер-Мартиросян. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М: Энергоатомиздат, 1984.

6. Ф. Индурайн. Квантовая хромодинамика. – Мир, 1986.

7. Т.-П. Ченг, Л.-Ф. Ли. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. М: Мир, 1987.

8. И.В. Андреев. Хромодинамика и жесткие процессы при высоких энергиях. М: Наука, 1981.

9. К. Хуанг. Кварки, лептоны и калибровочные поля. – Мир, 1985.

10. А.А. Славнов, Л.Д. Фадеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М: Наука, 1988.

11. А.Ю. Морозов. Аномалии в калибровочных теориях // УФН, 1986, т. 150, вып. 3, с. 337.

12. A. Grozin. Lectures on QED and QCD. arXiv: hep-ph/0508242v1

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРA

1. А.М. Поляков. Калибровочные поля и струны. – Ижевск, 1999.

2. В.А. Рубаков. Классические калибровочные поля: бозонные теории. – URSS, 2005.

3. В.А. Рубаков. Классические калибровочные поля: теории с фермионами. Некоммутативные теории. – URSS, 2005.

4. Р. Раджараман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории плоя. М: Мир, 1985.

5. А.С. Шварц. Квантовая теория поля и топология. М: Наука, 1989

6. Г. Бартон. Введение в дисперсионную теорию. М: Атомиздат, 1968.

7. М. Кройц. Кварки, глюоны и решетки. – Мир, 1987.

8. В.А. Хозе, М.А. Шифман. Тяжѐлые кварки // УФН, 1983, т. 140, вып. 1, с. 3.

9. Я.И. Азимов, Ю.Л. Докшитцер, В.А. Хозе. Глюоны // УФН, 1980, т. 132, вып. 3, с. 443.

10. А.И. Вайнштейн, В.И. Захаров, В.А. Новиков, М.А. Шифман. Инстантонная азбука // УФН,

1982, т. 136, с. 553.

11. С. Вайнберг. Квантовая теория поля. т.2. М: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

12. Р.Е. Борчердс. Квантовая теория поля. Ижевск, РХД, 2007.

ЛИСТ ОБНОВЛЕНИЯ

Дата

Внесенные обновления

Подпись

автора

Подпись зав. кафедрой

Программу составил д.ф.-м.н., профессор С.Э. Коренблит.

Программа рассмотрена на заседании кафедры теоретической физики

«_____» ___________2014г.

Протокол № ____ Зав.кафедрой_______________________ ______________А.Н. Валл

(подпись)

Программа согласована и рекомендована к утверждению Ученым Советом физического факультета. (Протокол )

Согласовано: председатель УМК ___________ ______ В.А. Карнаков

Председатель Ученого Совета, декан факультета ___________________ Н.М. Буднев