ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

I. Введение в Специальные функции.

1. Интегралы с 3-мя регулярными особыми точками и B(x,y) (бета) – функция Эйлера.

Аналитическое продолжение контурным интегралом. Интеграл по двойной петле.

2. Г(x) – (гамма) функция Эйлера. Представления. Связь с B(x,y).

Слияние регулярных особенностей в существенно особую точку.

3. Интегралы с 4-мя регулярными особыми точками и гипергеометрическая функция Гаусса.

Представления F(a,b;c;z). Соотношения. Свойства. Уравнение. Частные случаи.

Многочлены Якоби, Гегенбауэра и Лежандра.

4. Слияние особенностей представления для F(a,b;c;z) и вырожденная гипергеометрическая

функция. Уравнение. Функции Уиттекера, Макдональда и Бесселя. Производная Шварца.

Связь с решениями уравнения Шредингера в кулоновском поле. Частные случаи.

5. Факторизация линейного дифференциального оператора 2-го порядка.

6. Другие специальные функции.

II. Асимптотические оценки.

1. Асимптотический ряд. Понятие. Свойства. Обращение. Область применимости.

2. Простейшие методы асимптотических оценок. Оценка точности.

3. Оценка интегралов.

4. Оценка далеких Фурье гармоник. Лемма Римана-Лебега.

5. Особенности подынтегральной функции на оси и в комплексной плоскости.

6. Метод стационарной фазы.

7. Метод перевала.

8. Примеры. Гамма функция. Функции Эйри, Макдональда и Бесселя.

Связь с методом ВКБ. Случай, когда лишь f’’’(z0) не равна нулю.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. Кратцер, В. Франц. Трансцендентные функции. М: ИЛ. 1963.

2. Ф. Олвер Введение в асимптотические методы и специальные функции. М: Наука, 1978.

3. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Т 1, Т. 2. М: Наука, 1973.

4. М.А. Евграфов. Асимптотические оценки и целые функции. М: Наука, 1979.

5. Н.Я. Виленкин. Специальные функции и теория представлений групп. М: Наука, 1991.

6. И.В. Колоколов и др. Задачи по математическим методам физики. М: УРСС, 2000.

7. Э.Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М: Наука, 1976.

8. Э. Копсон. Асимптотические разложения. М: Мир, 1966.

9. А. Эрдейи. Асимптотические разложения. М: Наука, 1966.

10. Ж. Кампе де Ферье, и др. Функции математической физики. М: Наука, 1960.

11. А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров, Специальные функции математической фихики. М: Наука, 1984.

12. М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.

М: Наука, 1973.

13. Ю. Сидоров, М. Федорюк, М. Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного.

М: Наука, 1982.

14. А.Б. Мигдал, Качественные методы в квантовой механике и квантовой

теории поля. М: Наука, 1975.

15. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Курс теоретической физики, Т III,

Квантовая механика. М: Наука, 1974.

Программа доц. Коренблита С.Э.