Радио Технические цепи и Сигналы

Теоретическое введение

Частоты сигнала

Спектры сигналов

Колебательный контур

Вопросы для самопроверки

1. Спектр периодического сигнала

Рассмотрим общие свойства спектров периодических сигналов. Если сигнал V(t) периодичен с периодом Т, то он разлагается в ряд Фурье /2/ согласно соотношениям:

 (1.1.)  

w_i = iw₁

       (1.2.)

Из приведенных соотношений видно:

а) Перемещение оси абсцисс вверх или вниз равносильно прибавлению некоторой постоянной величины ко всем значениям V(t). Такое преобразование изменяет среднее значение - постоянную составляющую a0 , и не влияет на амплитуды и фазы гармоник. Так можно утверждать, что, например, спектр сигналов, приведенных на рис. 1, отличается только постоянной составляющей. Заштрихованные площади должны быть равными, тогда a0 - среднее значение.

Рис.1. Сигналы, отличающиеся только величиной а_о

б) Спектр периодического сигнала дискретен, он состоит из гармоник с частотами f=n/T, где n -любое целое число, f в герцах. Никаких других частот, кроме данных в периодическом сигнале быть не может, но вовсе не обязательно, чтобы в каждом конкретном сигнале существовали все возможные составляющие: для некоторых гармоник часть коэффициентов A_i и B_i может обращаться в ноль, т. е. соответствующие гармоники отсутствуют.

Иногда обращение в ноль части гармоник можно увидеть непосредственно по форме сигнала без обращения к формулам:

1) Если сигнал представляет собой гармонику, то, естественно, в его составе нет никаких других гармоник, и он характеризуется только одной частотой.

2) Если при соответствующем выборе начала отсчета времени сигнал представляет собой четную функцию, т. е. V(t)=V(-t), то в соотношениях (1.2.): V(t)Sin(w_it)- нечетная функция (Sin -нечетная), а V(t)Cos(w_it) - четная функция. Тогда:

 (1.3.)

             (1.4.)

т. е. сигналы разлагаются только по косинусам. Физически это означает, что в точке принятой за начало отсчета, все гармоники одновременно имеют экстремум: Максимум, если B_i окажется положительным, и минимальным, если B_i - отрицательным. На рис. 2 приведены примеры таких сигналов. На рисунке Т1-длительность импульса t:

Рис.2. Примеры сигналов, разлагающихся только по косинусам

Если сигнал представляет собой нечетную функцию времени: V(t)=-V(-t), тоV(t)Sinw_it – четная функция (оба сомножителя нечетные), а V(t)Cosw_it – нечетная функция. Поэтому в (1.2.):

 Разложение в этом случае ведется только по синусам. Т. е. в точке принятой за t=0 все гармоники проходят через ноль.

3) Если сигнал можно представить себе как сумму положительных и отрицательных импульсов, одинаковых по величине и форме и сдвинутых на половину периода, то такие сигналы не имеют в своем составе четных гармоник.     Это легко показать из простых рассуждений. Представим исходный сигнал, как сумму двух сигналов, один из которых (V₁) состоит из положительных, а другой (V₂) из отрицательных импульсов рис. 3 и разложим в спектр каждый из этих сигналов.

Рис.3. Сигнал, не содержащий четных гармоник и его составляющие

Сигналы V₁ и V₂ имеют одинаковый период, величину и форму, поэтому входящие в их состав гармоники будут иметь одинаковые частоты и амплитуды. Что касается фазовых соотношений, то тут ситуация для четных и нечетных гармоник различна. Для четных гармоник сдвиг фаз на полпериода основной частоты соответствует сдвигу на целое число периодов рассматриваемой гармоники, т. е. не меняет ее фазу. Таким образом, фазы четных гармоник, составляющих V₁ и V₂ оказываются противоположными (импульсы противоположной полярности) и соответствующие гармоники компенсируются, т. е. они отсутствуют в суммарном сигнале V. Для нечетных гармоник сдвиг фаз на полпериода основной частоты соответствует сдвигу фаз на целое число периодов плюс еще полпериода частоты данной гармоники, что изменяет фазу на . C учетом противоположной полярности импульсов эти гармоники оказываются в фазе и их амплитуды удваиваются при сложении.

Мы отмечали, что смещение оси абсцисс вверх или вниз меняет только постоянную составляющую сигнала. Поэтому, проверяя сигнал на наличие четных гармоник, можно мысленно осуществлять такое смещение. На рис. 3 приведены еще два сигнала, не содержащие четных гармоник:

Рис.4. Примеры сигналов, не содержащих четных гармоник

В первом сигнале условием отсутствия четных гармоник является то, что длительность должна быть в два раза меньше периода. Во втором случае время возрастания и убывания напряжения должны быть равны. Тогда при смещении оси времени на высоту, равную среднему значению сигнала, мы получим, что части сигнала, расположенные по разные стороны оси равны и смещены относительно друг друга на половину периода. Следовательно, как было рассмотрено ранее, получается обнуление каждой четной гармоники за счет «разно полярности» этих частей сигнала.

Далее